Из пункта А в пункт В

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 250 км, выехал автобус. Спустя час вслед за ним выехал автомобиль, который прибыл в пункт В на 40 минут раньше автобуса. Вычислите среднюю скорость движения автобуса, если известно, что она в 1,5 раза меньше средней скорости автомобиля

Решение:

х - скорость автобуса
1,5х - скорость автомобиля
250/х - время потраченное автобусом
250/1,5х - время автомобиля

250/х - 250/1,5х=5/3
х=50км\ч

Выйдя с турбазы, группа туристов за первый день похода прошла 20 км

Выйдя с турбазы, группа туристов за первый день похода прошла 20 км. За второй день туристы прошли 30% оставшейся части маршрута, а за третий и четвертый день соответственно 1/4 и 1/5 части пути всего намеченного маршрута. На пятый день, пройдя 80% оставшегося пути, туристы вышли на морское побережье. Найдите протяжённость всего выбранного туристами маршрута, если после выхода к морю туристам осталось пройти 2 км.

Решение:

x-весь путь который нужно пройти туристам
20 + 0,3(х-20)+ 0,25х + 0,2х + 0,8(х-20 - 0,3(х-20)- 0,25х - 0,2х) + 2 = х
Решив это уравнение получим
х=216. Ответ: 216км.

Завод получил заказ на выполнение партии деталей

Завод получил заказ на выполнение партии деталей. Первая, третья и четвертая бригады вместе могут выполнить заказ в 3 раза быстрее, чем вторая бригада, а вторая, третья и четвертая бригады - в 4 раза быстрее, чем первая бригада. За сколько дней смогут выполнить заказ третья и четвертая бригады, работая вместе, если первой и второй бригадам на это понадобится 11 дней?

Решение:

x1+x3+x4=3x2
x2+x3+x4=4x1
x1+x2=1/11

x1+x2+x3+x4=4x2
x1+x2+x3+x4=5x1
x1+x2=1/11

(x1+x2+x3+x4)/4=x2
(x1+x2+x3+x4)/5=x1
x1+x2=1/11

(1/4+1/5)(x1+x2+x3+x4)=x1+x2
9/20(x1+x2+x3+x4)=x1+x2
9/20(x3+x4)=11/20(x1+x2)
x3+x4=11/9(x1+x2)=1/9
ответ за 9 дней

Из города A в город В

Из города A в город В, расстояние между которыми 60км, вышел пешеход.Через 3,5 часа навстречу ему выехал велосипедист,скорость которого на 14 км/ч больше скорости пешехода.Найдите скорости пешехода и велосипедиста,если они встретились ровно на середине пути между городами А и В

Решение:

х(км/ч)-скорость пешехода
(х+14)км/ч - скорость велосипедиста
30/х(ч) - время затраченное пешеходом
30/(х+14)км/ч - время затраченное велосипедистом

30/х-30/(х+14)=3,5;
30(х+14)-30х=3,5х(х+14);
30х+420-30х-3,5х^2-49x,
-3,5x^2-49x+420=0,
x^2+14x-120=0,
D=49+120=169,
х=(-7+13)/1=6
х=(-7-13)/1=-20-не является решением задачи
6(км/ч)-скорость пешехода
6+14=20(км/ч)-скорость велосипедиста

Два печника начали работать вместе

Два печника начали работать вместе,но первый печник,проработав 6 часов,заболел и ушел,а второй окончил оставшуюся часть работы за 18 часов.За сколько часов всю работу мог выполнить каждый печник,если,работая вместе,они могут сложить печь за 12 часов?

Решение:

х - производительность первого печника
у - производительность второго печника

12(х+у) = 1
6(х+у) + 18у=1
Находим из системы уравнения неизвестные
x=1/36
y=1/18
Ответ: первый работник за 36 часов, второй за 18 часов

Катер прошел 15 км по течению реки

Катер прошел 15 км по течению реки и 4 км по стоячей воде, затратив на весь путь 1 ч..Найдите скорость лодки по течению реки, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Решение:

x- скорость катера по течению за
(х-4)- скорость катера в стоячей воде равна
15/x По реке катер шел такое количество времени
4/(x-4) по стоячей воде такое количество времени
Составим уравнение

15/x+4/(x-4)=1
15*(x-4)+4*x=x*(x-4)
15*x-60+4*x=x^2-4*x
x^2-23*x+60=0
x1=20
x2=3 посторонний корень, скорость катера по течению не может быть меньше скорости течения.
Проверка:
15/20+4/(20-4)=3/4+4/16=3/4+1/4=1
Ответ: Скорость катера по течению равна 20

Лодка шла по течению реки

Лодка шла по течению реки 2,4 ч и против течения 3,2 ч. Путь, пройденный лодкой по течению, оказался на 13,2 км длиннее пути, пройденного против течения. Найти скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3,5 км/ч

Решение:

х - скорость лодки в стоячей воде
(х + 3,5) - скорость лодки по течению
(х - 3,5) - скорость против течения
2,4(х + 3,5)-путь, пройденный по течению за 2,4 часа
3,2(х - 3,5)-путь, пройденный против течения за 3,2 часа

Составим уравнение:
2,4(х + 3,5)-3,2(х - 3,5)=13,2
2,4х + 8,4 - 3,2 x + 11,2 = 13,2
19,6 - 0,8x = 13,2
- 0,8x=-6,4
x=8
Ответ: скорость лодки в стоячей воде равна 8км/ч.

Задача на работу

В цехе поставили автомат,производительность которого была на 8 деталей в час выше производительности рабочего . после 2 ч. работы автомат выполнил шестичасовую норму рабочего . Какова производительность автомата?

Решение:

х - производительность рабочего деталей в час
х + 8 - производительность автомата деталей в час
6х - за шесть часов рабочий изготовит деталей
2(х +8) автомат этоже количество деталей изготовит за 2 часа
Составим уравнение:

6х=2(х+8);
6х=2х+16;
6х-2х=16;
4х=16;
х=16:4;
х=4 детали в час - производительность рабочего.
4+8=12 деталей в час - производительность автомата.
Ответ:12 деталей в час - производительность автомата

Задача на работу

Грузчики Петр и Владимир вместе могут перенести 22 ящика с гвоздями со склада в торговый зал за 40 мин. Михаил и Петр могут перенести 30 таких же ящиков за 50 минут, а Владимир и Михаил - 41 ящик за час. За сколько минут Петр, Владимир и Михаил перенесут 22 ящика, работая втроем?

Решение:

x,y,z - работа Петра, Владимира и Михаила соответственно ящиков за минуту
t - время которое нужно найти
Составляем систему:

1 уравнение x+y=22/40
2 уравнение x+z=30/50
3 уравнение y+z=41/60

выразим из первого уравнения х
x=(22/40)-y
подставим во второе вместо х
(22/40)-y+z=30/50
выразим z
z=y+0,05
подставим в третье уравнение вместо z
y+y+0,05=41/60
2y=(41/60)-0,05
2y=19/30
y=19/60

z=(19/60)+0,05=11/30

x=(22/40)-(11/30)=7/30

Найдем t
(x+y+z)=22/t
t=24

Ответ: 24

Задача на работу

Бригада рабочих взялась выгрузить 240 тонн зерна.Так как на работу явилось на 4 человека меньше,то каждому пришлось выгрузить на 2 тонны больше.Сколько рабочих было занято на выгрузке?

Решение:

х - количество человек в бригаде
240/х - количество зерна, которое должен был выгрузить один человек первоначально
240/(х-4)- явилось на 4 человека меньше
240/х + 2 - на 2 тонны больше на человека разгружать
240/х + 2 = 240 / (х-4)
х = 24 человек
24 - 4 = 20 рабочих, так как явилось на 4 человека меньше
Ответ: 20

Задача на работу

Двое рабочих должны были изготовить по 72 детали.Второй приступил к работе на 27 минут позднее первого,по половине задания они выполнили к одному времени,и чтобы закончить работу вместе с первым,второй сделал за него 4 детали.Сколько деталей в час изготавливал каждый рабочий?

Решение.

x – первый рабочий изготавливал деталей в час
y –второй рабочий изготовил деталей в час, тогда
36/х-36/у=27/60

первое уравнение 36/х-36/у=9/20
второе уравнение 32/х=40/у

y=20
x=16

Задача на работу

Две бригады должны были отремонтировать по 10 км железнодорожных путей. Бригада №2 справилась с заданием на один день раньше первой. Известно, что вместе они ремонтировали по 4,5 км пути в день. Сколько километров пути ремонтировала в день каждая бригада?

Решение:

t- время за которое работала первая бригада
х- количество работы сделанной за один день первой бригадой
у- количество работы сделанной за один день второй бригадой

Составляем уравнение
Первое уравнение tx=10
Второе уравнение (t-1)y=10
Третье уравнение x+y=4,5

из первого уравнения выражаем t
t=10/x
и подставляем вместо t во второе уравнение
(10/x-1)y=10

из третьего уравнения выражаем у
у=4,5-х
и подставляем во второе уравнение вместо у
(10/x-1)(4,5-х)=10
Раскрываем скобки
45/х-4,5-10+х=10 |*х
45-4,5х-10х+х^2=10x
(x^2-это х в квадрате)
х^2-24,5x+45=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=-24,5 c=45
D=b^2-4ac=600,25-180=420,25
x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
x1=(24,5+20,5)/2=22,25 (x1 нам не подходит так как за один день первая бригада должна выполнять работы меньше 4,5)
x2=(24,5-20,5)/2=2

Находим у
у=4,5-2=2,5
Ответ: первая бригада выполняет объем работы в день равный 2
вторая бригада выполняет объем работы в день равный 2,5

Задача на работу

Бригадир и работник изготовили в первый день 100 деталей. Во второй день бригадир изготовил на 20% больше, а работник на 10% больше, чем в первый день. Всего во второй день бригадир и работник изготовили 116 деталей. Сколько деталей изготовили бригадир и сколько изготовил работник в первый день?

Решение:

х-деталей в день делает работник
у -деталей в день делает бригадир

10% от х это будет равно 0,1х
20% от у это будет равно 0,2у

Составляем уравнения
Первое уравнение х+у=100
Второе уравнение х+0,1х+у+0,2у=116

из первого уравнения выражаем х
х=100-у
Второе преобразуем
1,1х+1,2у=116
и во второе подставим вместо х замену
1,1(100-у)+1,2у=116 раскроем скобки
110-1,1у+1,2у=116
0,1у=6 |: 0,1
у=60
Ответ: в первый день бригадир изготовил 60, а работник 100-60=40

Задача на работу

Бригада должна была изготовить к определенному сроку 150 деталей. Увеличив ежедневную выработку на 5 деталей,она смогла уже за 2 дня до срока не только выполнить план,но изготовит дополнительно еще 10 деталей. Сколько деталей должна была готовить бригада в день по плану?

Решение:

х - количество деталей которые бригада производит за один день
на выполнение работы по выпуску 150 деталей бригаде понадобится 150/х время
150+10=160 деталей выпустила бригада
160/(х+5) - время затраченное на выпуск 160 деталей при увеличившейся выработке деталей на 5 штук
По условию задачи работа была закончена на 2 дня раньше срока.
Составляем уравнение:

(150/х)-160/(х+5)=2 домножим все уравнение на х(х+5)
150х+750-160х=2х^2+10х
преобразуем уравнение
х^2+10x-375=0
по дискриминанту находим корни
х1=15 х2=-25 (х2 не подходит так как количество не может быть отрицательным)

Ответ: 15 деталей

Задача на движение

Один из лыжников прошел расстояние в 20 км на 20 минут быстрее чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная что один из них двигался со скоростью, на 2 км/час больше чем другой.

Решение:

S=Vt
V - скорость первого лыжника
V+2 - скорость второго лыжника
t - время первого лыжника
t-1/3 - время второго лыжника 20 минут переводим в часы 20/60=1/3
S=20
Составляем уравнения

Vt=20
(V+2)(t-1/3)=20

t=20/V
(V+2)((20/V)-1/3)=20 раскроем скобки
20-V/3+40/V-2/3=20 домножим все уравнение 3V
60V-V^2+120-2V=60V преобразуем уравнение
V^2+2V-120=0
По дискриминанту находим корни V

x2=-12 нам не подходит,так как скорость не бывает отрицательной
У второго скорость V+2 тогда 10+2=12
Ответ:V=10 первого лыжника V=12 второго лыжника

Задача на растворы

Сколько граммов 20% раствора соли надо добавить к 60 гр. 60%-ого раствора соли, чтобы в итоге получить 50% раствор соли.

Решение:

х гр. 20%-ого раствора соли
60 гр. 60%-ого раствора соли
а получится
(х+50) гр. 50% раствор соли

0,2х+0,06*0,6=(х+0,06)0,5
х=0,02
Ответ: 20грамм

Задача на работу

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 16 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 4 дня выполняет такой же объем работы, которую второй работник выполнит за 2 дня?

Решение:

x - количество выполненной работы первым работником за один день
y - количество выполненной работы dnjhsv работником за один день


16x - количество выполненной работы первым работником за 16 дней
16y - количество выполненной работы вторым работником за 16 дней


Составим уравнения
Первое уравнение 16х+16у=1
Второе уравнение 4х=2у


Выражаем из второго уравнения х
х=2у/4=у/2


Подставляем в первое уравнение
16*(у/2)+16у=1
Преобразуем
8у+16у=1
24у=1
у=1/24


Находим х
х=0,5*1/24=1/48


Теперь составим уравнение чтобы найти за сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий.
t - время за которое первый работник выполняет всю работу
tx=1
t*1/48=1
t=48
Ответ: 48 дней

Задача на проценты

Стоимость бензина в первом квартале увеличилась на 10% во втором квартале на 30%. На сколько процентов увеличилась цена бензина за два квартала?

Решение:

х - цена на бензин
Находим увеличение цены в первом квартале на 10%
(10/100)х=0,1х на сколько увеличилась цена в первом квартале
0,1х+х=1,1х новая цена в первом квартале

Находим увеличение цены во втором квартале на 30%
(1,1*30/100)х=0,33х на сколько увеличилась цена во втором квартале
1,1х+0,33х=1,43х новая цена во втором квартале
Видно что цена повысилась на 43%
Ответ: 43%

Задача на наполнение

Первая труба наполняет бак объемом 570 литров, а вторая труба-бак объемом 530 литров. Известно ,что одна из труб пропускает в минуту на 4 л воды больше,чем другая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба,если известно, что баки были наполнены одновременно?

Решение:

х - сколько литров воды пропускает вторая труба
t - время за которое обе трубы наполнили баки
Составляем два уравнения
1 уравнение x*t=530
2 уравнение (x+4)*t=570
из 1 уравнения выражаем t
t=530/x
подставляем во второе уравнение вместо t
(x+4)*530/x=570
Решаем его и получаем
х=53
Ответ: 53

Задача на движение

Половину времени, затраченного на дорогу автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч , вторую половину времени ехал со скоростью 66 км/ч. Найдите средню скорость автомобиля на всем пути.

Решение:

Найдем среднее арифметическое
70+66=136
136/2=68
Ответ: 68