Изобразите схематически график функции:

y=3x^2-2x+1

y=-5x^2+6x+7

y=0,1x^2-5x-8

y=-0,2x^2+6x+1

Что такое монотонность?

Урок:Как определить характер монотонности функции?

Начнем с того что разберем что значит такое понятие как монотонность?
Если функция возрастает или убывает на данном промежутке, то говорят что она монотонна на этом промежутке.

Теперь разберем, что значит возрастание или убывание функции?
Функция возрастает если x1 меньше x2 тогда и у1 меньше у2.
Функция убывает если x1 меньше x2, а у1 больше у2.

Рассмотрим примеры:

1)y=2x+1 – эта прямая
Проверим на возрастание и убывание функция
Возьмем любой х, например, х1=0 подставим в уравнение y=2x+1 ноль вместо х, получим
у1=2*0+1=1
теперь возьмем обращаю внимание обязательно х число большее чем мы брали в предыдущий раз, например, х2=1, подставим в уравнение
у2=2*1+1=3
Уже видно что у1<у2 можем предположить что функция возрастающая, но можно проверить еще для убедительности, берем х3=10
y3=2*10+1=21
Действительно у у нас постоянно увеличивается функция сначала принимала значение 1, потом 3 и 21 (цифры увеличиваются), следовательно и функция тоже увеличивается.

Вывод: эта прямая увеличивается на всей числовой прямой.

2) y=-2x+1 – эта прямая
Проверим на возрастание и убывание функция
Возьмем любой х, например, х1=0 подставим в уравнение y=-2x+1 ноль вместо х, получим
у1=-2*0+1=1
теперь возьмем обращаю внимание обязательно х число большее чем мы брали в предыдущий раз, например, х2=1, подставим в уравнение
у2=-2*1+1=-1
Уже видно что у1>у2 можем предположить что функция убывающая, но можно проверить еще для убедительности, берем х3=10
y3=-2*10+1=-19
Действительно у у нас постоянно уменьшается функция сначала принимала значение 1, потом -1 и -19 (цифры уменьшаются), следовательно и функция тоже убывающая.
Вывод: эта прямая убывающая на всей числовой прямой.

Монотонная функция – эта функция, которая либо возрастает постоянно на данном промежутке, либо убывает постоянно на данном промежутке, либо периодами возрастает и убывает на данном промежутке.
Пример монотонной функции на промежутке [a;b] (которая возрастает и убывает на промежутке [a;b])

Следовательно если проверять функцию на монотонность, значит надо проверить убывает функция или возрастает на каком то промежутке числовой прямой.
Примеры решения можно посмотреть еще здесь

Построение графика

При каких значениях а прямая у=а имеет две общие точки с графиком функции y=f(x), где f(x)=х(х-4), если х≥0, f(x)=х(4-х), если х<0?

Решение:

Нарисуем график функции y=f(x)

по рисунку видно, что две общие точки с графиком функции y=f(x) прямая у=а имеет в значении y=-4 и y=0
Ответ: y=-4 и y=0

Постройте график у=-4х+2

Постройте график у=-4х+2

Решение:

Берем функцию у=-4х+2, подставляем вместо х любые числа
x -1 0 1
y 6 2 -2

Что такое прямая? Как построить прямую?

Урок: как построить график?

Начнем с самого простого графика – прямой.
Прямая имеет вид y=ax+b, где а - угловой коэффициент,
Если a>0 то прямая возрастающая, a<0 прямая убывающая
b – проходит через ось у

Условия параллельности прямых
Две прямые параллельны если их угловые коэффициенты равны
y=ax+b и y=mx+n, a=m – прямые параллельны

Условие перпендикулярности прямых
Две прямые перпендикулярны если при перемножении их угловых коэффициентов результат будет равен -1
y=ax+b и y=mx+n, am=-1 – прямые перпендикулярны

Пример №1:
Постройте прямую у=х, у=2х
Берем функцию у=х, подставляем вместо х любые числа
х 1 2 3
y 1 2 3

Берем функцию у=2х, подставляем вместо х любые числа
x 1 2 3
y 2 4 6

Пример №2:
Постройте параллельные прямые у=3х+1, у=3х-2
Берем функцию у=3х+1, подставляем вместо х любые числа
x -1 0 1
y -2 1 4
Берем функцию у=3х-2, подставляем вместо х любые числа
x -1 0 1
y -5 -2 1

Пример №3:
Постройте параллельные прямые у=3х+1, у=-1/3х-2
Берем функцию у=-1/3х-2, подставляем вместо х любые числа
x -3 0 3
y -1 -2 -3
Берем функцию у=3х+1, подставляем вместо х любые числа
x -3 0 3
y -8 1 10

Монотонность функции

Известно что функция y=g(x) является монотонной и что уравнение g(x)=5 имеет корень, равный 8. Имеет ли это уравнение другие корни?

Заметим, что если y – монотонная функция на промежутке D (y (x)), то уравнение y (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x1 < x2 – корни этого уравнения на промежутке D (y(x)), то y (x1) = f (x2) = 0, что противоречит условию монотонности. Ответ:нет

Определите характер монотонности функции

Определите характер монотонности функции y=x+2 и y=x^3. Докажите, что функция y=x^3+x+2 возрастающая

Рассмотрим сначала функцию y=x+2

видно что функция возрастает на всей числовой прямой (-∞;+∞)
х1= 1, у1=1+2=3
х2= 2, у2=2+2=4
у1 меньше у2 функция y=x+2 возрастающая

Рассмотрим сначала функцию y=x^3

видно что функция возрастает на всей числовой прямой (-∞;+∞)
х1= 1, у1=1^3=1
х2= 2, у2=2^3=8
у1 меньше у2 функция y=x^3 возрастающая

Рассмотрим сначала функцию y=x^3+x+2

видно что функция возрастает на всей числовой прямой (-∞;+∞)
х1= 1, у1=1^3+1+2=4
х2= 2, у2=2^3+2+2=12
у1 меньше у2 функция y=x^3 возрастающая

Возрастание и убывание функции. Построение графика.

Укажите промежутки возрастания и промежутки убывания функции y=4x-3/x-2

Решение:

Примерное построение графика y=4x-3/x-2

х не равен 0 так как находится в знаменателе

возмем х1=-3, y1=4*(-3)-3/(-3)-2=-12+1-2=-13
х2=-1, y2=4*(-1)-3/(-1)-2=-4+3-2=-3
х3=1, y3=4*1-3/1-2=4-3-2=-1
х4=1, y4=4*3-3/3-2=12-1-2=9

видно что при увеличении х, у тоже увеличивается, следовательно функция возрастающая на все числовой прямой кроме 0

Ответ: (-∞;0) U (0;+∞) возрастает

Возрастающая и убывающая функция

Докажите, что функция g(x)=x^2-1 является убывающей на промежутке (- ∞; 0] и возрастающей на промежутке [0; + ∞)

Решение:

Исследуем первый промежуток (- ∞; 0]
берем х1=-2, у1=(-2)^2-1=4-1=3
увеличиваем х берем, например, х2=-1 у2=(-1)^2-1=1-1=0
видно что у1 больше у2 функция убывающая

Исследуем первый промежуток [0; + ∞)
берем х1=1, у1=1^2-1=1-1=0
увеличиваем х берем, например, х2=3 у2=3^2-1=9-1=8
видно что у1 меньше у2 функция возрастающая

Возрастание и убывание функции

Какая из линейный функций y=25x-48 и y=-14x+19 является возрастающей, убывающей и почему?

Решение:

Можно решить двумя вариантами
1 вариант: линейная функция имеет вид y=ax+b, если а>0 функция возрастающая, если а<0 функция убывающая
У нас y=25x-48 а=25 возрастающая
y=-14x+19 а=-14 убывающая

2 вариант: берем первую функцию y=25x-48
подставляем вместо х любые числа, например, х1=1 тогда y1=25*1-48=-23
увеличиваем х, например, х2=3 тогда у2=25*3-48=27
видно что у1 меньше y2 следовательно функция возрастающая

берем вторую функцию y=-14x+19
подставляем вместо х любые числа, например, х1=1 тогда y1=-14*1+19=5
увеличиваем х, например, х2=3 тогда у2=-14*3+19=-23
видно что у1 больше y2 следовательно функция убывающая

Ответ: y=25x-48 возрастающая y=-14x+19 убывающая