Изобразите схематически график функции:

y=3x^2-2x+1

y=-5x^2+6x+7

y=0,1x^2-5x-8

y=-0,2x^2+6x+1

Как построить параболу? Как построить график?

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

Строить параболу очень легко самое главное запомнить последовательность несложных действий.
1 действие: запомнить общую формулу параболы y=ax^2+bx+c и что график симметричен относительно оси OY
2 действие: вытекает из первого рассмотрим свободный член c в этой точке пересекается парабола с осью OY. Если а>0 то ветви параболы смотрят вверх, а<0 - вниз.
3 действие: найти вершину по формуле x=(-b)/2a, а чтоб у просчитать то нужно x подставить в формулу y=ax^2+bx+c
4 действие: найти точки пересечения параболы с осью OX или по-другому они называются корни уравнения. Чтобы найти корни мы уравнение приравниваем к 0 ax^2+bx+c=0
Здесь могут быть подпункты, так как уравнения параболы могут быть разными.
a)Полное квадратное уравнение имеет вид ax^2+bx+c=0 и решается по дискриминанту
b)Неполное квадратное уравнение вида ax^2+bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки и потом каждый множитель прировнять к 0. х(ax+b)=0, х=0 и ax+b=0.
c)Неполное квадратное уравнение вида ax^2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
5 действие: делать не обязательно, но оно поможет вам построить более точный график параболы. Это взять несколько дополнительных точек для построения функции.

И так теперь на примере разберем все по действиям
1)y=x^2+4x+3
2) c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
3) a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2)^2+4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
4) Найдем корни уравнения x^2+4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b^2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3

5) Возьмем несколько произвольных точек, так как у нас вершина лежит в точке (-2;-1) нам выгодно брать точки возле х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x^2+4x+3 значения
y=(-4)^2+4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3)^2+4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1)^2+4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0)^2+4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям что значения у симметричны

1)y=-x^2+4x
2)c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1<0.
3)a=-1 b=4 c=0 x=(-b)/2a=(-4)/(2*(-1))=2 y=-(2)^2+4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
4)Найдем корни уравнения -x^2+4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax^2+bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки и потом каждый множитель прировнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.
5)Возьмем несколько произвольных точек, так как у нас вершина лежит в точке (2;4) нам выгодно брать точки возле х=2

х 0 1 3 4
у 0 3 3 0

Подставляем вместо х в уравнение y=-x^2+4x значения
y=0^2+4*0=0
y=-(1)^2+4*1=-1+4=3
y=-(3)^2+4*3=-9+13=3
y=-(4)^2+4*4=-16+16=0
Видно по значениям что значения у симметричны

1)y=x^2+4
2)c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
3)a=1 b=0 c=4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0)^2+4=4 вершина находится в точке (0;4)
4)Найдем корни уравнения x^2+4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax^2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x2=4
x1=2
x2=-2

5)Возьмем несколько произвольных точек, так как у нас вершина лежит в точке (0;4) нам выгодно брать точки возле х=0

х -2 -1 1 2
у 0 3 3 0

Подставляем вместо х в уравнение y=x^2+4 значения
y=(-2)^2+4=4+4=8
y=(-1)^2+4=1+4=5
y=1^2+4=1+4=5
y=2^2+4=4+4=8
Видно по значениям что значения у симметричны

Построение графика

При каких значениях а прямая у=а имеет две общие точки с графиком функции y=f(x), где f(x)=х(х-4), если х≥0, f(x)=х(4-х), если х<0?

Решение:

Нарисуем график функции y=f(x)

по рисунку видно, что две общие точки с графиком функции y=f(x) прямая у=а имеет в значении y=-4 и y=0
Ответ: y=-4 и y=0

Постройте график у=-4х+2

Постройте график у=-4х+2

Решение:

Берем функцию у=-4х+2, подставляем вместо х любые числа
x -1 0 1
y 6 2 -2

Что такое прямая? Как построить прямую?

Урок: как построить график?

Начнем с самого простого графика – прямой.
Прямая имеет вид y=ax+b, где а - угловой коэффициент,
Если a>0 то прямая возрастающая, a<0 прямая убывающая
b – проходит через ось у

Условия параллельности прямых
Две прямые параллельны если их угловые коэффициенты равны
y=ax+b и y=mx+n, a=m – прямые параллельны

Условие перпендикулярности прямых
Две прямые перпендикулярны если при перемножении их угловых коэффициентов результат будет равен -1
y=ax+b и y=mx+n, am=-1 – прямые перпендикулярны

Пример №1:
Постройте прямую у=х, у=2х
Берем функцию у=х, подставляем вместо х любые числа
х 1 2 3
y 1 2 3

Берем функцию у=2х, подставляем вместо х любые числа
x 1 2 3
y 2 4 6

Пример №2:
Постройте параллельные прямые у=3х+1, у=3х-2
Берем функцию у=3х+1, подставляем вместо х любые числа
x -1 0 1
y -2 1 4
Берем функцию у=3х-2, подставляем вместо х любые числа
x -1 0 1
y -5 -2 1

Пример №3:
Постройте параллельные прямые у=3х+1, у=-1/3х-2
Берем функцию у=-1/3х-2, подставляем вместо х любые числа
x -3 0 3
y -1 -2 -3
Берем функцию у=3х+1, подставляем вместо х любые числа
x -3 0 3
y -8 1 10

Построение параболы

y=-0,5x^2-2x+2

Эта парабола ветви направлены вниз
Область определения (-∞;+∞)
Область значения (-∞;8]
Нули функции -0,5x^2-2x+2 =0
По дискриминанту находим корни
a=-0,5 b=-2 c=2
D=b^2-4ac=4+4=8
x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
x1=(2+√8)/(2*(-0,5))=-2-√8
x2=(2-√8)/(2*(-0,5))=-2+√8
Функция ни четная ни нечетная y(-х)=-0,5(-x)^2-2(-x)+2= y=-0,5x^2+2x+2
Функция ограничена сверху
Функция не периодична
Вершина находится х=(-b)/2a x=-2 y=8

Начертите график

НАЧЕРТИТЕ ГРАФИК КАКОЙ ЛИБО ФУНКЦИИ С ОБЛАСТЬЮ ОПРЕДЕЛЕНИЯ[-3;4]ТАК,ЧТОБЫ ЭТО ФУНКЦИЯ:
а)возрастала в промежутке [-3;0] и убывала в промежутке[0;4])
б) убывала в промежутке(-3;0)и возрастала в промежутке [1;4]

Решение: под а)

под б)