Что такое монотонность?

Урок:Как определить характер монотонности функции?

Начнем с того что разберем что значит такое понятие как монотонность?
Если функция возрастает или убывает на данном промежутке, то говорят что она монотонна на этом промежутке.

Теперь разберем, что значит возрастание или убывание функции?
Функция возрастает если x1 меньше x2 тогда и у1 меньше у2.
Функция убывает если x1 меньше x2, а у1 больше у2.

Рассмотрим примеры:

1)y=2x+1 – эта прямая
Проверим на возрастание и убывание функция
Возьмем любой х, например, х1=0 подставим в уравнение y=2x+1 ноль вместо х, получим
у1=2*0+1=1
теперь возьмем обращаю внимание обязательно х число большее чем мы брали в предыдущий раз, например, х2=1, подставим в уравнение
у2=2*1+1=3
Уже видно что у1<у2 можем предположить что функция возрастающая, но можно проверить еще для убедительности, берем х3=10
y3=2*10+1=21
Действительно у у нас постоянно увеличивается функция сначала принимала значение 1, потом 3 и 21 (цифры увеличиваются), следовательно и функция тоже увеличивается.

Вывод: эта прямая увеличивается на всей числовой прямой.

2) y=-2x+1 – эта прямая
Проверим на возрастание и убывание функция
Возьмем любой х, например, х1=0 подставим в уравнение y=-2x+1 ноль вместо х, получим
у1=-2*0+1=1
теперь возьмем обращаю внимание обязательно х число большее чем мы брали в предыдущий раз, например, х2=1, подставим в уравнение
у2=-2*1+1=-1
Уже видно что у1>у2 можем предположить что функция убывающая, но можно проверить еще для убедительности, берем х3=10
y3=-2*10+1=-19
Действительно у у нас постоянно уменьшается функция сначала принимала значение 1, потом -1 и -19 (цифры уменьшаются), следовательно и функция тоже убывающая.
Вывод: эта прямая убывающая на всей числовой прямой.

Монотонная функция – эта функция, которая либо возрастает постоянно на данном промежутке, либо убывает постоянно на данном промежутке, либо периодами возрастает и убывает на данном промежутке.
Пример монотонной функции на промежутке [a;b] (которая возрастает и убывает на промежутке [a;b])

Следовательно если проверять функцию на монотонность, значит надо проверить убывает функция или возрастает на каком то промежутке числовой прямой.
Примеры решения можно посмотреть еще здесь

Монотонность функции

Известно что функция y=g(x) является монотонной и что уравнение g(x)=5 имеет корень, равный 8. Имеет ли это уравнение другие корни?

Заметим, что если y – монотонная функция на промежутке D (y (x)), то уравнение y (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x1 < x2 – корни этого уравнения на промежутке D (y(x)), то y (x1) = f (x2) = 0, что противоречит условию монотонности. Ответ:нет