Трехгранный угол

Доказать, что если два плоских угла трехгранного угла являются равными, то их общее ребро проектируется на биссектрису третьего плоского угла.

Доказательство:

Дано: Углы EDA и EDC равны
Углы ADB и BDC равны (DB биссектриса)
Доказать: что EB проходит через DB

Доказательство:
Пусть AB перпендикулярна DA и BC перпендикулярна DC
Тогда по теореме о трех перпендикулярах
EA перпендикулярна DA и EC перпендикулярна DС

Треугольники DEA и DCE равны (как прямоугольные по гипотенузе и острому углу следовательно DA=DC)
Треугольники DBA и DCB равны (как прямоугольные по гипотенузе DB-общая и острому углу)
Следует что проекция EB ребра ED проходит через биссектрису DB.

Доказательства параллелограмма

Противоположные углы четырёхугольника попарно равны,докажите,что он параллелограмм.

Решение:

Пусть противоположные углы A и C четырёхугольника ABCD равны и противоположные углы B и D равны. Поскольку сумма углов любого четырёхугольника равна 360°, то 2A+2B=360°. Значит, A+B=180°. сумма внутренних односторонних углов при секущей равна 180°, то по признаку параллельных прямых АВ параллельна CD,BC параллельна AD. Значит, четырехугольник ABCD – параллелограмм.

Докажите, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании равны.

Докажите, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании равны.

Решение:

AB=BC по условию
Проведем AD и EC биссектрисы
Треугольники ADC и AEC равны по второму признаку равенства треугольников (т.к. AC общая сторона. Углы BAC и BCA равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Углы ECA и DAC равны как половины углов при основании.)
А так как треугольники равны то и биссектрисы равны, они являются сторонами треугольников.Теорема доказана.