В трапеции ABCD длина основания

В трапеции ABCD длина основания AD = 4, длина основания BC = 3, длины сторон AB и CD равны. Точки M и N лежат на диагонали BD, причем точка M расположена между точками B и N, а отрезки AM и CN перпендикулярны диагонали BD. Найти длину отрезка CN, если BM/DN=2/3

Решение:

Из подобия треугольников BOC и DOA
BO/OD=BC/AD=3/4

Из подобия треугольников CON и AOM

ON/OM=CN/AM=CO/OA=BO/OD=3/4

Обозначим
BM = 2x, DN = 3x, ON = 3y, OM = 4y

BO/OD=3/4
(2x+4y)/(3y+3x)=3/4

x=7y

AO=OD=3y+3x=24y
DM=3x+3y+4y=28y

Из прямоугольного треугольника AMD
AD^2 = AM^2 + DM^2 = AO^2 - OM^2 + DM^2 =
= (24y)^2 - (4y)^2 + (28y)^2 = 16y^2(6^2 - 1 + 7^2) = 16 *84y^2

Из уравнения 16 *84y2 = 16
y^2 =1/84

AM^2 = (24y)^2 - (4y)^2 = 16*35y^2 = 16*35/84 = 20/3

Поэтому AM = 2√(5/3)
CN =3*0,25AM = √(15)/2

Ответ: √(15)/2